Грязный политикан ([info]bromozel) wrote,
@ 2004-10-24 11:44:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend  Next Entry
Простая задача.
Знакомому ребенку в школе задали задачу по геометрии. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AB – диаметр этой окружность. BC=2, CD=2, DA=7. Найти длину стороны AB.
Задача несложна, но в этой школе еще не проходили тригонометрию. Как решить задачу без нее? Я придумал и теперь горжусь собой.

UPDATE: Задача решена [info]Липкой и Анонимусом, но остальные тоже могут получить удовольствие, не заглядывая в комментарии.

UPDATE2: В процессе оказалось, что у задачи простой ответ. Поэтому отдельный почет тому, кто придумает совсем геометрическое решение - вообще без вычислений.

(35 comments) - (Post a new comment)


[info]_purple_monkey_
2004-10-24 02:42 am UTC (link)
А ответ семь корней из двух?
Если рассмотрение углов не считается тригонометрией, то обозначим центр окружности буквой О, заметим, что угол АDB прямой поскольку он опирается на диаметр, соответственно DO делит угол пополам что даёт нам 45 градусов для углов ОDA и ОDB. Поскольку треугольник АOD равносторонний, а углы ОAD = ОDA = 45, то угол АOD = 90 градусов, соответственно мы можем применить теорему пифагора и найти радиус 2а^2=49 => диаметр семь корней из двух. Оно?

(Reply to this) (Thread)

[info]lipka
2004-10-24 03:08 am UTC (link)
DO пополам угол не делит.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]_purple_monkey_
2004-10-24 03:10 am UTC (link)
Пардон, у нас 3:15 ночи.
Сейчас ещё подумаю:-)

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]_purple_monkey_
2004-10-24 03:12 am UTC (link)
Ой, действительно. Это я подумала про медиану, и почему решила что ето бисектриса.

(Reply to this) (Parent)

[info]bromozel
2004-10-24 03:10 am UTC (link)
Почему DB делит угол пополам?

(Reply to this) (Parent)

[info]lipka
2004-10-24 03:08 am UTC (link)
Ой, у меня что-то 8 получается. если теоремой пифогора, квадратными уравнениями и подобием пользоваться.

(Reply to this) (Thread)

[info]bromozel
2004-10-24 03:11 am UTC (link)
Не, у меня не 8. Плохой ответ.

(Reply to this) (Parent)

(Anonymous)
2004-10-24 03:11 am UTC (link)
(7 + sqr(67)) / 2 = 7.59

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]bromozel
2004-10-24 03:12 am UTC (link)
Похоже, но не совсем так. А почему?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

(Anonymous)
2004-10-24 03:25 am UTC (link)
Проводим дополнительный диаметр через точки D, O и D'. Получаем трапецию DD'BC у которой стороны DC и D'B равны 2 (т.к. D'B = AD), меньшее основание BC равно 7, а большее DD' равно диаметру. Кроме этого, у этой трапеции OC равна половине основания (= половине диаметра). Дальше теоремой Пифагора.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]bromozel
2004-10-24 03:27 am UTC (link)
Да, все так. Только ответ все-таки 8 :)

(Reply to this) (Parent)

[info]lipka
2004-10-24 03:50 am UTC (link)
1/2(7+sqrt(81))

(Reply to this) (Parent)
Правильно!
[info]bromozel
2004-10-24 03:24 am UTC (link)
Пересчитал - точно, 8. Вы правы, сударыня. Решение - в студию!

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
(Anonymous)
2004-10-24 03:29 am UTC (link)
Точно 8. Почему-то решил, что квадрат 7 равен 35... :)

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
[info]bromozel
2004-10-24 03:44 am UTC (link)
Поэтому, возможно, что есть совсем геометрическое решение - вообще без расчетов. Надо подумать.

(Reply to this) (Parent)
Re: Правильно!
[info]lipka
2004-10-24 03:49 am UTC (link)
ну как, решение подошло? Ну, оно как-то не особо эстетично, но первое что считалось то и посчитала.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
[info]bromozel
2004-10-24 03:52 am UTC (link)
Подошло, да. Спасибо.
Осталось придумать геометрический способ - у тебя почти такой.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
(Anonymous)
2004-10-24 10:38 am UTC (link)
Встречная задача. Найти искомую длину стороны AB (можно приблизительно) без вычислений и без циркуля -- только с помощью угольника и карандаша. Решение есть.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
[info]bromozel
2004-10-24 02:25 pm UTC (link)
Что такое угольник?

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
(Anonymous)
2004-10-24 03:15 pm UTC (link)
Инструмент, которым можно измерять расстояния и строить прямые углы. Наверное стоит уточнить, что угольник используется для решения квадратного уравнения, которое возникает в ходе решения задачи.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Правильно!
[info]bromozel
2004-10-25 01:39 am UTC (link)
А линии прямые проводить можно?

К тому же непонятно, что значит найти - там внизу есть решение без вычислений. А у Вас тут квадратное уравнение.

(Reply to this) (Parent)
???
[info]sergeif
2004-10-24 04:36 pm UTC (link)
Удивляет слово приблизительно. Математические задачи обычно решаются точно, особенно когда ответ число, мало того целое.

Еще непонятно как вы просто построите этот четырехугольник этими инструментами, если радиуса изначально не знаете.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: ???
(Anonymous)
2004-10-24 05:27 pm UTC (link)
Хорошее уточнение моей задачи: "Построить искомый четырехугольник ABCD не зная радиуса окружности, в которую он вписан". Задача практическая, поэтому вполне можно обойтись без циркуля и математической точности.

Почему слово приблизительно должно удивлять? Не все задачи, даже математические, имеют точное решение. Число пи тому пример. Кстати, возможно ли начертить линию длиной достаточно точно равной пи?

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Ничего себе задача
[info]sergeif
2004-10-25 12:31 am UTC (link)
Вот не понимаю всё равно. Или у вас на угольнике есть деления... Как вы например можете построить длину 2 или 7? Это какие-то особые числа которые строятся легко? Напишите, пожалуйста, решение, или я замучаю уточнением формулировок :)

Конечно возможно. Берёте с достаточной точностью окружность радиуса 1, и делите её каким-нибудь диаметром пополам, то что получилось как раз и есть линия длиной достаточно близкой к Pi. Причем утверждаю, что абсолютная погрешность будет равна абсолютной погрешности вычисления длины 1 умножить на 2.

Найдите приблизительно число 8. Вот не понимаю как это. Может правда я один такой.

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Ничего себе задача
(Anonymous)
2004-10-25 04:56 am UTC (link)
Я пришлю свое решение после работы.

Пока уточню формулировку. Имеется четырехугольник ABCD вписаный в окружность. АВ - диаметр этой окружности, BC = 7 см, CD = AD = 2 см. Задача на построение. Построить этот четырехугольник с помощью циркуля и линейки. (Линейкой можно отмерять расстояния, циркулем проводить окружности, про угольник забудем -- с ним не интересно). Про теорему Пифагора можно знать, но на уровне геометрии (т.е. площади квадратов, построенных на катетах равна площади квардата построенного на гипотенузе). Слово "приблизительно" не играет ни какой роли -- задача на построение. Радиус, по условиям задачи, изначально не известен.

Если честно, я не понял "решения без вычислений". Буду рад, если поясните. А то эта задачка уже как назойливая мелодия в голове :)

(Reply to this) (Parent)
Re: Ничего себе задача
(Anonymous)
2004-10-25 10:30 am UTC (link)
Вот решение, о котором я говорил.

I. Через точку O проводим два отрезка OA и OB длиной 7/2 см и 2 см соответственно, перпендикулярные друг другу. Из точки O проводим биссектрису b.

II. С центром в точке A проводим окружность радиуса AB до пересечения с биссектрисой b в точке C.

III. Проводим перпендикуляр к OA через точку C с пересечением в точке D.

AD это искомый радиус (= 4 см) и решение задачи. Построить четырехугольник ABCD зная радиус -- дело техники.

Image

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Гм
[info]sergeif
2004-10-25 12:48 pm UTC (link)
точки А B C D с аналогичными в задачи видимо не имеют ничего общего? AB<>2, и вообще какое-то нецелое. Можно пояснить, почему найденный отрезок AD -есть радиус искомой задачи? 3.5 из того, что AO средняя линия треугольника ADB?

Вообщем, я пока не понял как построение с задачей связано

(Reply to this) (Parent)(Thread)
Re: Гм
(Anonymous)
2004-10-25 01:52 pm UTC (link)
Image

(Reply to this) (Parent)
Re: ???
[info]bromozel
2004-10-25 01:40 am UTC (link)
Действительно непонятно - что значит не зная радиуса?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]sergeif
2004-10-25 12:51 pm UTC (link)
Ну изначально радиуса окружности, в которую вписан четырёхугольник мы не знаем

(Reply to this) (Parent)
Re: Правильно!
[info]kapahel
2004-10-25 10:07 am UTC (link)
вот я карандашом решение писал как раз

(Reply to this) (Parent)

[info]sergeif
2004-10-24 08:08 am UTC (link)
Совсем без вычислений придумать способ получить 8, имея 7 и 2? Забавно. А подобие треугольников, и всякие теоремы про хорды и касательные эти школьники знают? Если подобие использовать, и нарисовать вторую окружность, с центром в точе С, то тогда там получится много всяких подобных треугольников, общих хорд, а радиус исходного - средняя линия треугольника с основанием 7+1/2*2, то есть радиус 4. Но вот приходится же что-то складывать.

(Reply to this) (Thread)

[info]bromozel
2004-10-25 01:46 am UTC (link)
Для школьников подошло решение с вычислениями. Главное - без косинусов.

Но само решение я что-то не понимаю. Какого радиуса вторая окружность?

(Reply to this) (Parent)

[info]kapahel
2004-10-24 03:55 pm UTC (link)
у меня получилось 16.
провел DB, ОС и OD (O — центр). |OC|=|OD|=|OB|=|OA|=x=0.5|AB|. Опускаем перпендикуляр из O на AD, его длину назовем z. Точку пересечения BD и CO обозначим, как K. Получаем:
2^2=(x-7/2)^2+z^2 (из треугольника CDK)
x^2=(7/2)^2+z^2 (из OBC)
Решаем, получается |OA|=8, а диаметр — 16.

(Reply to this) (Thread)

[info]kapahel
2004-10-24 03:58 pm UTC (link)
нет, диаметр 8, лишний раз умножил

(Reply to this) (Parent)

(35 comments) - (Post a new comment)

Create an Account
Forgot your login or password?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…